向量运算的基本概念和性质如下：

1. 向量的加法：向量a=(x, y)和向量b=(x', y')的加法遵循平行四边形和三角形法则，即a+b=(x+x', y+y')。加法满足交换律（a+b=b+a）和结合律（(a+b)+c=a+(b+c)）。

2. 向量的减法：若a和b互为相反向量，a+b=0，0的反向量是0。向量减法AB-AC=CB，表示从共同起点向被减向量的方向移动。

3. 数乘向量：实数λ与向量a的乘积记为λa，其长度等于λ乘以a的长度。λ>0时同向，λ<0时反向。数乘运算有结合律和分配律。

4. 向量的数量积（点积）：定义为两个非零向量a和b的夹角余弦值，记作a·b，有a·b=|a|·|b|·cos〈a, b〉。数量积有交换律、结合律和分配律，但不满足结合律和消去律。

5. 向量的向量积（外积、叉积）：表示为a×b，其模等于两个向量的长度乘积与夹角正弦值，方向垂直于两者并构成右手系。向量积有性质如模的几何意义、a×a=0和垂直关系。

6. 三向量混合积：给定a、b、c三个向量，混合积(abc)等于a×b与c的数量积，有混合积的性质，如体积表示和关系式(a×b)·c=a·(b×c)。

通过例题，如正方形中的向量关系证明LB与GK垂直，展示了向量运算在几何问题中的应用。

扩展资料

在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量），在数学中与之相对的是数量，在物理中与之相对的是标量。