总结数列通项公式的求法,本文列举了数种方法。以下内容详述数列通项公式求解的不同策略。
首先,观察法应用于数列给出的前几项,通过观察识别模式以得出通项公式。尽管此法不够严谨,但适用于直观识别模式的场合。
例1:写出下列各数列的一个通项公式。
(1)2,22,222,2222,...
(2)1,-3,5,-7,9,-11,...
(3)0,1,0,1,0,1,...
(4)a,b,a,b,a,b,...
接着,累加法对于初学者较难,需要通过多列项积累直观经验。直观经验的累积,使得操作变得自然。
累乘法分为“连续相消”和“隔项相消”两种效果。对于“连续相消”,大多数同学无需过多顾虑。对于“隔项相消”,需注意对称性,确保前后的对应关系。
随后,构造常数列是求解数列通项公式的常用方法,体现转化与化归的数学思想。常数列、等差数列和等比数列紧密相关。
之后的章节将探讨特定类型的问题,解答为何采用特定方法,其实由递推关系对应的方程代数特征决定。后续文章会进行更深入的总结。
特定类型如an+1=pan+q (p、q为常数),此类问题可通过待定系数法或不动点法求解,目的为构造等比数列以求通项公式。
接着是an+1=pan+c•p^n (p、c为常数),此类问题可通过构造等差数列解决,注意底数p与递推关系中的系数p相同。
特定类型an+1=pan+c•q^n (p、q、c为常数) 要求p≠q,此时不能构造等差数列,通常有两种方法,推荐第二种。
特定类型an+1=pan+1+qan (p、q为常数) 涉及三项递推关系,提供三种处理方法。
对于涉及常数的an+2=pan+1+qan 类型,如果后面再加一个常数,同样需要恰当处理。若方法五至方法八中的问题类型相互交叉综合,处理方式也会有所不同。
特定类型an+1=pan+f(n),其中p、q为常数,f(n)为关于n的多项式,采用待定系数法处理。比较例9和例10,可发现它们之间的区别与联系。
最后,由Sn求an方法,对于求解序列的前n项和提供了新思路。
本文总结十种方法求解数列通项公式,更多类型与方法,以及更深入的分析将在后续系列文章中更新。敬请期待后续内容。