01

设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，那么，两个函数乘积的导数公式为

(uv)'=u'v+uv'

移相得 uv'=(uv)'-u'v

对这个等式两边求不定积分，得

∫uv'dx=uv-∫u'vdx (1)

公式(1)称为分部积分公式。如果求∫uv'dx有困难，而求∫u'vdx比较容易时，分部积分公式就可以发挥作用了。

为简便起见，也可以把公式(1)写成下面的形式

∫udv=uv-∫vdu

02

现在通过列子来说明

列题1.求∫xlnxdx

解：设u=lnx,dv=dx,那么

∫xlnxdx=∫lnxd(x^2/2)

=x^2/2lnx-∫x^2/2d(lnx)

=x^2/2lnx-1/2∫xdx

=x^2/2lnx-x^2/4+C

03

列题2.∫arccosxdx

解：设u=arccosx,dv=dx,那么

∫arccosxdx=xarccosx-∫xd(arccosx)

=xarccosx+∫x/√(1-x^2)dx

=xarccosx-1/2∫1/(1-x^2)^1/2d(1-x^2)

=xarccosx-√(1-x^2)+C

04

总结1：在分部积分法运用比较熟练以后，就不必再写出哪一部分选作u,哪一部分选作dv，只要把被积函数表达式凑成φ(x)dv(x)的形式，便可使用分部积分公式

列题3.求∫x^2sin^2xdx

解：首选降幂，由于sin^2x=1/2(1-cos2x),所以

∫x^2sin^2xdx=1/2∫x^2(1-cos2x)dx=1/6x^3-1/4∫x^2dsin(2x).

连续使用分部积分法,得

∫x^2sin^2xdx=1/6x^3-1/4x^2sin2x+1/2∫xsin2xdx=1/6x^3-1/4x^2sin2x-1/4∫xdcos2x

=1/6x^3-1/4x^2sin2x-1/4xcos2x+1/8sin2x+C

列题4.∫x^2e^xdx

解：设u=x^2,dv=e^xdx=d(e^x),那么

∫x^2e^xdx=∫x^2d(e^x)=x^2e^x-∫e^xd(x^2)-2∫xe^xdx

这里∫xe^xdx比∫x^2e^xdx容易积出，因为被积函数中x的幂次前者比后者降低了一次，所以，对∫xe^xdx再使用一次分部积分法就可以了，于是

∫x^2e^xdx=x^2e^x-2∫xe^xdx=x^2e^x-2∫xd(e^x)

=x^2e^x-2(xe^x-e^x)+C

=e^x(x^2-2x+2)+C

05

总结2：上面2个列子可以知道，如果被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑使用分部积分法，并设幂函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次，直至求出答案，这里假定的幂指数是正整数。

列题5.求∫xarctanxdx

解：∫xarctanxdx=1/2∫arctanxd(x^2)

=x^2/2arctanx-1/2∫x^2/(1+x^2)dx

=x^2/2arctanx-1/2∫(1+x^2-1)/(1+x^2)dx

=x^2/2arctanx-1/2∫[1-1/(1+x^2)]dx

=x^2/2arctanx-1/2(x-arctanx)+C

=1/2(x^2+1)arctanx-1/2x+C

06

总结3：如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可以考虑分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u.

列题6.∫e^xsinxdx

解：∫e^xsinxdx=∫sinxd(e^x)=e^xsinx-∫e^xcosxdx

等式右端的积分与等式左端的积分是同一类型的，对右端的积分再用一次分部积分法，得

∫e^xsinxdx=e^xsinx-∫cosxd(e^x)

=e^xsinx-e^xcosx-∫e^xsinxdx

由于上式右端的第三项就是所求的积分∫e^xsinxdx,把它移到等号左端去，再两端同除以2，便得

∫e^xsinxdx=1/2e^x(sinx-cosx)+C

因上式右端已不包含积分项，所以必须加上任意常数C

分部积分法三大总结对应的题型，如果小伙伴们不能够很好的理解，我们有下面这章表格，可以更加有利于你们的理解

(1)首先要将它写成∫udv(或∫uv'dx)的形式。

(2)多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出。

(3)用分部积分法有时可导出∫f(x)dx的方程，然后解出。

(4)有时用分部积分法可导出递推公式

在大学高数学习不定积分用分部积分法时，一般情况下，掌握前3种即可，即使考试最后的压轴题目也逃不出这个范围，对于考研的学子(只对数一)用分部积分法导出递推公式需要你们自己去多做题，去理解即可。