一致收敛判别法是判定函数列与函数项级数是否收敛的重要方法，其中比较著名的有柯西准则、魏尔斯特拉斯判别法以及阿贝尔判别法等，它们是数学分析中重要的理论基础。

设

是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在 上的函数列，简记为。

对于函数列，我们不仅要讨论它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质。比如能否由函数列每项的连续性判断出极限函数的连续性。又如极限函数的导数和积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限。对这些问题的讨论，只要求函数列在数集D上的收敛是不够的，必须对它在D上的收敛性提出更高的要求才行，这就是以下所要讨论的一致收敛性问题。

定义1

设函数列 与函数 定义在同一数集D上，若对任给的正数 ，总存在某一正整数N，使得当 时，对一切 ，都有

则称函数列 在D上一致收敛于 ，记作

由定义可以看到，如果函数列 在D一致收敛，那么对于所给的 ，不管D上的哪一点 ，总存在公共的 （即N的选取仅与 有关，与 的取值无关），只要 ，都有

由此看到函数列 在D上一致收敛，必在D上的每一点都收敛。反之，在D上每一点都收敛的函数列 ，在D上不一定一致收敛。

定理1（函数列一致收敛的柯西准则）

函数列 在数集D上一致收敛的充要条件是：对任给正数 ，总存在正数N，使得当 时，对一切 ，都有

函数项级数及其一致收敛性

设 是定义在数集E上的一个函数列，表达式

称为定义在E上的函数项级数，简记为或。称

为函数项级数（2）的部分和函数列 。

若，数项级数

收敛，即部分和当时极限存在，则称级数（2）在点收敛，称为级数（2）的收敛点。若级数（4）发散，则称级数（2）在点发散。若级数（2）在E上某个子集D上每点都收敛，则称级数（2）在D上收敛。若D为级数（2）全体收敛点的集合，这时则称D为级数（2）的收敛域。级数（2）在D上每一点与其所对应的数项级数（4）的和构成一个定义在D上的函数，称为级数（2）的和函数，并写作

即

也就是说，函数项级数（2）的收敛性就是指它的部分和函数列（3）的收敛性。

定义2

设是函数项级数的部分和函数列。若在数集D上一致收敛于，则称在上一致收敛于。

定理2（一致收敛的柯西准则）

函数项级数在数集D上一致收敛的充要条件为：对任给的正数，总存在某正整数N，使得当时，对一切和一切正整数，都有

或

函数项级数的一致收敛性判别法

定理3（魏尔斯特拉斯判别法）

设函数项级数定义在数集D上， 为收敛的正项级数，若对一切，有

则函数项级数在D上一致收敛 。

下面讨论定义在区间上形如

的函数项级数的一致收敛性判别法，它与数项级数一样，也是基于阿贝尔分部求和公式。