图片来自网络
甚麽是素数?素数又叫做质数,是这样一些正整数(即自然数),除了1和它自身,没有任何其它整数能整除它。例如:2,3,5, 7,11,13,17,......,83,89,97,......等等都是素数(为了任意正整数因数分解的唯一性,数学界规定1不是素数)。
两千多年前的欧基里德,已经证明了素数有无穷多。人们最近发现的已知最大素数是2^74207281-1(即2的74207281次方再减去一,如果写成十进数字,有2230多万位)。 人们之所以重视研究素数,是因为任何自然数(正整数) 都可表示成素数或若干个其它素数的乘积,即素数是构成自然数的基石。例如,100=2X2X5X5,105=3X5X7, 等等。
孪生素数,就是相差刚好等于二的相邻的一对素数。例如,3和5, 5和7,11和13,41和43,59,61等等,都是孪生素数。较大的孪生素数对:(7559,7561),(9767,9769)等等。目前发现的最大孪生素数对是:2003663613X2^195000-1和2003663613X2^195000+1。
孪生素数猜想, 就是猜想孪生素数有无穷多对。数论中凡是涉及无穷的论断, 都需要用数学方法从理论上证明,不能用实际计算去验证, 也不能用超级计算机去验证。孪生素数猜想,和哥德巴哈猜想一样, 都是数论的著名难题,经过很多数学家多年的努力,还未得到解决。
值得高兴的是,中国旅美数学家张益唐,2024年在美国《 数学年刊》上,发表了一篇论文,震惊了世界,论文的最后结论(通过简单的推论及后续的发展)是:如果把孪生素数定义中:相邻的一对素数相差等于2,更改为相邻的一的对素数相差等于常数C (C 是大于或等于2,而小于或等于600的偶数),则孪生素数猜想成立。
为了更清楚解释上述结论,我们引入一些简单符号:把所有素数由小到大排成数列:2,3,5,7,11,..... .,令P1=2,P2=3,P3=5,P4=7,P5=11,.....P24=89,P25=97,......,Pn= 第n个素数,.... 用{Pn}表示素数数列。则{Pn}={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,......,59,61,......,89,97,101,103,......,7559,7561,......,9767,9769,......}
现在由素数数列{Pn}构造一个新的数列:从第2 项起,每一项与前一项在作成差:P2-P1,P3-P2,P4-P3,......,Pn+ 1-Pn,......,则{(Pn+1-Pn)}是新的无穷数列,则
{(Pn+1-Pn)}={1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,6,4,2,......,2,......}.最后,还要引进无穷数列中的无穷子数列概念。例如:自然数列N={1,2,3,4,5,......23,24,25,.....,99,100,101,.....,1000,......,100000,......},它的所有奇数组成的数列{1,3,5,7,9,11,13,......101,103,......},就是自然数数列N的无穷子数列。
总而言之,孪生素数猜想就是猜想无穷数列{(Pn+1-Pn)}={1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,6,4,2,......,2,......}之中,存在着无穷子数列:{2,2,2,......,2,2,2,.....} (每一项都是2)
而张益唐得到的成果是无穷数列{(Pn+1-Pn)}={1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,6,4,2,......,2,......}之中,存在着无穷子数列:{C,C,C,......,C,C,C,......}(每一项都是C是大于或等于2,而小于或等于600的偶数)。
编辑:何郑燕
(专家:文达,原City University of New York数学教授,科普中国微平台原创首发)