1. 对数求导法则公式

对数求导法的基本公式如下：

如果 \( y = \log_a(u) \)，其中 \( a \) 是常数且 \( a \neq 1 \)，则 \( y' = \frac{1}{u \ln(a)} \cdot u' \)。

2. 对数求导法

对数求导法是一种高效的导数计算技巧，它适用于对数函数的复合函数求导。通过对原函数取对数，可以简化导数的计算过程，将复杂的导数问题转化为简单的对数运算。

3. 对数求导法的适用范围

对数求导法特别适用于处理以下类型的函数：

- 乘积形式 \( f(x) = g(x) \cdot h(x) \)

- 商的形式 \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \)

- 根式 \( f(x) = \sqrt{g(x)} \)

- 幂的形式 \( f(x) = x^n \)

- 指数形式 \( f(x) = a^x \)，其中 \( a \) 是常数

- 幂指函数 \( f(x) = x^a \)，其中 \( a \) 是关于 \( x \) 的函数

4. 对数求导法例题详解

以下是一些使用对数求导法的例题，通过这种方法，我们可以将复杂的导数计算简化为基本的对数和指数运算：

例题1: 求 \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) 的导数。

解：取对数 \( y = \ln(x^2 + 1) \)，则 \( u = x^2 + 1 \)。应用链式法则，得到 \( y' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} \)。

例题2: 求 \( f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x} \) 的导数。

解：取对数 \( y = \ln(\frac{\sqrt{x}}{x}) = \ln(\sqrt{x}) - \ln(x) \)，则 \( u = \sqrt{x} \) 和 \( v = x \)。应用对数求导法则，得到 \( y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x} \)。