几何领域的抛物线焦点弦弦长公式
定义:如果一条倾斜角为α的直线过抛物线焦点F,并交抛物线于A。B两点,则AB的长度为2P/(sinα)2(即2P除以sinα的平方)
推导过程:
设两交点A(X1,Y1)B(X2,Y2)
(y2-y1)/(x2-x1)=tanα
|AB|=√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]
设直线l为y=tanαx+b且过点(p/2,0)
即直线为y=tanαx-ptanα/2
联立得到tanα^2x^2-(tanα^2+2)px+p^2tanα^2/4=0
那么(x2-x1)^2
=(x2+x1)^2-4x1x2
=((tanα^2+2)p/tanα^2)^2-4*(p^2tanα^2/4)/tanα^2
=4p^2(tanα^2+1)/tanα^4
那么|AB|=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]=2p(tanα^2+1)/tanα^2=2p/(sinα)2