线性代数知识点（1）

行列式

一、行列式概念与性质

1. 逆序数：所有逆序的总数

2. 行列式定义：不同行不同列元素乘积的代数和

3. 行列式性质：

(1) 行列互换(转置)，行列式的值不变

(2) 两行（列）互换，行列式变号

(3) 提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式

(4) 拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

(5) 一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

(6) 两行成比例，行列式的值为0。

二、重要行列式

1. 上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积

2. 副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘

3. Laplace展开式

4. n阶（n≥2）范德蒙德行列式

★5. 对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：

三、按行（列）展开

1. 按行展开定理：

(1) 任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值

(2) 行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0

四、克莱姆法则

1. 克莱姆法则：

(1) 非齐次线性方程组的'系数行列式不为0，那么方程为唯一解

(2) 如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0

(3) 若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。

矩阵

一、矩阵的运算

1. 矩阵乘法注意事项：

(1) 矩阵乘法要求前列后行一致；

(2) 矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）

(3) AB=O不能推出A=O或B=O。

二、矩阵的逆运算

1. 逆的求法：

(1) A为抽象矩阵：由定义或性质求解

(2) A为数字矩阵：（A|E）→初等行变换→（E|A-1）

三、矩阵的初等变换

1. 初等行（列）变换定义：

(1) 两行（列）互换；

(2) 一行（列）乘非零常数c

(3) 一行（列）乘k加到另一行（列）

★四、矩阵的秩

1. 秩的定义：非零子式的最高阶数

注：

(1) r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O

(2) r（An×n）=n（满秩）←→|A|≠0←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；

(3) r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。

2. 秩的求法：

(1) A为抽象矩阵：由定义或性质求解；

(2) A为数字矩阵：A→初等行变换→阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0），则r（A）=非零行的行数

五、伴随矩阵

六、分块矩阵

1. 分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。

2. 分块矩阵求逆：

向量

一、向量的概念及运算

1. 长度定义：