1 基本概念及性质

定义 如果一点x在自己的极线上,则称x为自共轭点;如果一直线u通过自己的极点,

则称u为自共轭直线[1].

性质1 在配极变换

ρui=∑

3

k=1

aikxk(i=1,2,3,aik=aki,ρ aik ≠0) (1)

下,x(x1,x2,x3)是自共轭点的充要条件是

(x1,x2,x3)(aik)(x1,x2,x3)T=0或∑

3

i,k=1aikxixk=0(aik=aki) (2)

由(2)确定的配极变换(1)下自共轭点的轨迹是一条二阶曲线[1].

性质2 在配极变换(1)下,u(u1,u2,u3)是自共轭直线的充要条件是

(u1,u2,u3)(Aik)(u1,u2,u3)T=0或∑

3

i,k=1

Aikuiuk=0(Aik=Aki) (3)

其中Aik是aik在 aik 中的代数余子式,由(3)确定的配极变换(1)下自共轭直线的轨迹是一条二

级曲线[1].

性质3 已知一条二次曲线Г:∑

3

i,k=1aikxixk=0(aik=aki, aik ≠0),若点y不在二阶曲线Г上

(即y不是自轭点),则它总有一条确定的极线∑

3

i,k=1

aikyixk=0(aik=aki);若点y在二阶曲线Г上

(即y是自共轭点),则点y的极线就是Г在点y的切线[2].

推论1 射影平面上任意一点总有一条关于非退化二阶曲线的极线.

性质4 若点y的极线通过点z,则点z的极线也通过点y[2].

性质5 设点z在点y的极线上移动,则点z的极线绕点y而转动.即在配极变换(1)下,

极点与极线的对应、极点列与极线束的对应是射影对应[2].

2 主要定理及推论

定理1 关于一条非退化二阶曲线的所有自共轭点的极线集合是一条非退化二级曲线.

证明 设非退化二阶曲线的方程为Г:∑

3

i,k=1aikxixk=0(aik=aki, aik ≠0),(yi)是关于Г的任

一自共轭点,由性质1(yi)在Г上,由性质3点(yi)的极线就是Г在该点的切线,设该切线的线

坐标为u(u1,u2,u3),则有配极变换

ρui=∑

3

k=1aikyk(i=1,2,3,aik=aki,ρ aik ≠0) (4)

和逆变换

σyi=∑

3

k=1Akiuk(i=1,2,3,Aik=Aki,σ Aik ≠0) (5)

其中Aik是aik在 aik 中的代数余子式.由于(yi)是自共轭点,故在它的极线(即切线)(ui)上,从

而有

u1y1+u2y2+u3y3=0 (6)

将式(5)代入式(6)整理得

A11u21+A22u22+A33u23+2A12u1u2+2A13u1u3+2A23u2u3=0

此即

∑

3

i,k=1Aikuiuk=0(Aik=Aki, Aik = aik 2≠0) (7)

因为(yi)是动点,它对应的极线(切线)是动切线(ui),故动切线的方程(7)是一条非退化的二级

曲线,定理证完.

由对偶原理得