定义 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为“耐克函数”
所谓的对勾函数（双曲线函数），是形如f(x)=ax+b/x的函数。由图像得名。图像 对勾函数：图像，性质，单调性
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示。奇偶性与单调性 当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a）的时候（sqrt表示求二次方根）
奇函数。
令k=sqrt(b/a），那么：
增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；
减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0 编辑本段均值不等式 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了平均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab）。现在把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab），这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。 编辑本段导数求解 其实用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，但要熟练掌握。举几个例子：1/x=x^-1，4/x^2=4x^-2。明白了吧，x为分母的时候可以转化成负指数幂。那么就有f(x)=ax+b/x=ax+bx^-1，求导方法一样，求得的导函数为a+(-b)x^-2，令f'(x)=0，计算得到b=ax2，结果仍然是x=sqrt(b/a），如果需要的话算出f(x）就行了。平时做题的时候用导数还是均值定理，就看你喜欢用那个了。不过注意均值定理最后的讨论，有时ax≠b/x，就不能用均值定理了。 上述研究都是建立在x>0的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图像不再规则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。 事实上，利用将对勾函数进行选择可以得到标准的双曲线方程。也就是说，对勾函数是双曲线，这个利用二阶矩阵的变幻也是可以得到的。 另外对于二次曲线，他只可能是以下几种情况：圆，椭圆，双曲线，抛物线，或者是两条直线。 由对勾函数的图像看出来，非双曲线莫属了。 编辑本段其它解法 面对这个函数 f(x)=ax+b/x,我们应该想得更多，需要我们深入探究：⑴它的单调性与奇偶性有何应用？而值域问题恰好与单调性密切相关，所以命题者首先想到的问题应该与值域有关；⑵函数与方程之间有密切的联系，所以命题者自然也会想到函数与方程思想的运用；⑶众所周知，双曲线中存在很多定值问题，所以很容易就想到定值的存在性问题。因此就由特殊引出了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。 编辑本段高考例题 2006年高考上海数学试卷（理工农医类）已知函数 y=x+a/x 有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在 (0,√a] 上是减函数，在 ，[√a,+∞）上是增函数． ⑴如果函数 y=x+（2^b)/x （x>0）的值域为 [6,+∞），求b 的值； ⑵研究函数 y=x^2+c/x^2 （常数c >0）在定义域内的单调性，并说明理由； ⑶对函数y =x+a/x 和y =x^2+a/x^2（常数a >0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x) =(x^2+1/x)^n+（1/x^2+x)^n（x 是正整数）在区间[½,2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论） 当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值；当x<0时，f(x)=ax+b/x有最大值 f(x)=x+1/x 首先你要知道他的定义域是x不等于0 当x>0, 由均值不等式有： f(x)=x+1/x>=2根号（x*1/x)=2 当x=1/x取等 x=1，有最小值是：2，没有最大值。 当x<0,-x>0 f(x)=-(-x-1/x) <=-2 当－x=-1/x取等。 x=-1，有最大值，没有最小值。 值域是：（负无穷，-2）并（2，正无穷） －－－－－－－－－－－－－－ 证明函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0）在x>0上的单调性 设x1>x2且x1，x2∈（0，+∝） 则f(x1）-f(x2）=(ax1+b/x1） -（ax2+b/x2） =a（x1-x2）-b（x1-x2）/x1x2 =（x1-x2）（ax1x2-b）/x1x2 因为x1>x2，则x1-x2>0 当x∈（0，√（b/a））时，x1x2b/a 则ax1x2-b>b-b=0 所以f(x1）-f(x2）>0，即x∈（√（b/a），+∞）时，f(x)=ax+b/x单调递增。 编辑本段重点（窍门） 其实对勾函数的一般形式是： f(x)=x+a/x(a>0) 定义域为（-∞，0）∪（0,+∞） 值域为（-∞，-2根号a]∪[2根号a,+∞） 当x>0，有x=根号a，有最小值是2根号a 当x<0，有x=-根号a，有最大值是：－2根号a 对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a>0），它的单调性讨论如下： 设x1 下面分情况讨论 ⑴当x1 ⑵当-根号a ⑶当0 ⑷当根号a 解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值