初三圆的定理和性质如下：

1. 圆的确定：

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

圆的对称性质：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

2. 垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两个弧。

逆定理：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两个弧。

3. 圆周角和圆心角的性质和定理：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两组弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。

90度的圆周角所对的弦是直径。

4. 外接圆和内切圆的性质和定理：

一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。

外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；

内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

所以，三角形的面积等于1/2×三角形周长×内切圆半径。

5. 圆的公式：

1. 圆的周长 C=2πr=πd。

2. 圆的面积 S=πr²。

3. 扇形弧长 l=nπr/180。

4. 扇形面积 S=nπr²/360=rl/2。

5. 圆锥侧面积 S=πrl。

圆的定义：

几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。

集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。