求根公式（也称为二次方程的解公式）是通过完成平方来推导出来的。

1、我们首先将二次项系数除以 a，使得方程的形式变为 x^2 + (b/a)x + c/a = 0。这一步的目的是为了简化计算和推导过程。

2、接下来，我们希望将方程转化为一个完全平方的形式。为此，我们需要找到一个常数 k，使得左边的三项可以表示为一个平方项加上一个常数。可以通过以下步骤实现：

a) 将二次项系数的一半平方，即 (b/a)^2，加到方程的两边上：

x^2 + (b/a)x +              (b^2/4a^2) + c/a = (b^2/4a^2)

b) 为了保持等式平衡，我们需要从右边减去 c/a，得到：

x^2 + (b/a)x + (b^2/4a^2) = (b^2 - 4ac) / (4a^2)

3、现在，我们将左边的三项组合成一个平方项。注意到左边的三项其实是一个完全平方的形式，因此可以将其写成 (x + k)^2 的形式。为了确定 k，我们需要将 (b/a)x 这一项的系数与 2kx 相匹配。

a) 比较二次项系数：

(b/a)x = 2kx

k = (b/2a)

b) 将 k 的值代入到方程中，得到：

x^2 + (b/a)x + (b^2/4a^2) = (b^2 - 4ac) / (4a^2)

    x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 = (b^2 - 4ac) / (4a^2)

4、现在，我们可以将方程写成完全平方的形式：

(x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac) / (4a^2)

5、对方程两边取平方根，得到：

x + b/2a = ±√[(b^2 - 4ac) / (4a^2)]

6、最后，我们可以通过改变符号和移项来获得最终的求根公式：

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)这就是二次方程求根公式的推导过程。通过这个公式，我们可以有效地求解任意一元二次方程的根。

使用求根公式的注意事项

1、分母不能为零：在使用求根公式计算根时，注意分母 (2a) 不能为零。如果分母等于零，则求根公式失效，因为除以零是不允许的。

2、精确度和舍入误差：使用求根公式计算根时，要注意保持适当的精确度，并且注意舍入误差。对于较大或较小的系数和判别式值，可能需要使用更高精度的数值计算方法或处理方式，以避免精度损失或错误结果。

3、处理复数根：当判别式小于零时，表示二次方程没有实数根，而是有复数根。在处理复数根时，可以使用虚数单位 i（i^2 = -1）来表示，将根写成实部加上虚部的形式。