弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。

推导过程:

sin ( a + β )=sin a cos β+cos a sin β ,sin ( a - B )=sin a cos B -cos a sin B

把两式相加得到: sin ( a + β )+sin( a -β )=2sin a cos β所以，sin a cos B =[sin( a + β )+sin ( a -β )]/2

同理，把两式相减，得到: cos a sin β =[sin( a + β ) -sin ( a -β)]/2cos ( a + B )=cos a cos B -sin a sin B ,

cos ( a - β )=cos a cos B +sin a sin B

把两式相加，得到: cos ( a + B )+cos ( a -β )=2cos a cos β所以，cos a cos β =[cos ( a + β )+cos ( a -β )]/2

同理，两式相减，得到sin a sin β =-[cos ( a+ B ) -cos ( a - β)]/2这样，得到了积化和差的四个公式:

sin a cos B =[sin( a + β )+sin ( a -B )]/2cos a sin 3 =[sin( a +β ) -sin ( a -B )]/2cos a cos β =[cos ( a +β )+cos ( a -β )]/2sin a sin β =-[cos ( a +β ) -cos ( a -β)]/2

有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的α+β设为 0 ,a-β设为巾，

那么a =( 0+)/2，β =( 0 一中 ) /2

把α ,β分别用0,表示就可以得到和差化积的四个公式:sin 0 +sin =2sin[( 0 +)/2]cos[( 0 一)/2]

sin 0 -sin 本 =2cos[( 0 + )/2]sin[ ( 0 -)/2]