1. y'' - y' = 1, 特征方程 r^2-r = 0, r = 0, 1.

特解应设为 y = ax， 代入微分方程得 a = -1，

则原微分方程的通解是 y = C1+C2e^x -ax.

2. z = xy,

(1) 记 F = xy-z， 则 Fx = y, Fy = x, Fz = 1

在点M(1, 1, 1), Fx = 1, Fy = 1, Fz = 1

切平面方程 1(x-1)+1(y-1)+1(z-1) = 0, 即 x+y+z = 3；

法线方程 (x-1)/1 = (y-1)/1 = (z-1)/1, 即 x = y = z.

(2) 构造拉格朗日函数 F = x^2y^2z^2 - k(xy-z)

则 Fx = 2xy^2z^2-ky = 0

Fy = 2yx^2z^2-kx = 0

Fz = 2zx^2y^2+k = 0

Fk = z-xy = 0

显然， x = y = z = 0 满足 ， 此时 f = x^2y^2z^2 取最小值

3. (1) 积分域 D = D1 + D2，

D1 是以点 O(0, 0), A(0, -1), B(1, 0) 为顶点的直角三角形，

D2 由 x = √(1-y) 即抛物线 y = 1-x^2 与坐标轴围成。

交换积分次序，得

I = ∫<0, 1>dx∫(x+y+1)dy

= ∫<0, 1>dx[(x+1)y+y^2/2]

= ∫<0, 1>(1/2)(x^4-2x^3-7x^2+4x+4)dx

= (1/2)[x^5/5-x^4/2-7x^3/3+2x^2+4x]<0, 1> = 101/60

(2) 积分域关于 坐标平面 yOz, xOz 都对称， x ， y 的奇函数积分为 0. 取柱坐标,

I = ∫∫∫<Ω>zdv = ∫<0, 1>dz∫<0, 2π>dt∫<0, z>zrdr

= 2π∫<0, 1>dz[zr^2/2]<0, z> = π∫<0, 1>z^3dz = π/4