函数的周期性是函数的一个重要性质．对一般函数f(x)的周期，不少中学生往往不知从何入手去求．为了加深对函数f(x)周期概念的理解，

本文以实例来说明求函数f(x)周期的几种常见方法，请参考．

一、定义法

根据周期函数的定义以及题设中f(x)本身的性质推导出函数的周期的方法称为定义法．

(1) ∴f(x)为周期函数，且2a 是它的一个周期． 注：如果题设函数方程中只有一边含有不为零的常数a，另一边与 a 无关，这时周期T 应

取决于a，假设T 能被a 整除，就分别试算f(x＋ 2a)，f(x＋3a)，f(x＋4a)，…，当出现f(x＋T)＝f(x)(T≠0)的形式时，就可知T 是f(x)的

周期． 周期函数，若是，求出它的周期；若不是，说明理由． (1) ∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a] (2) ∴f(x)为周期函数，3a 是它的周期．

二、特殊值法

当题设条件中有f(m)＝n(m，n 为常数)时，常常以此条件为突破口，采用特殊值法解即可奏效． f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一

个周期；若不是，说明理由． ∴f(x)为周期函数，2π 是它的一个周期．

三、变量代换法

设函数f(x)在R 上有定义，且对于任意x 都有f(x＋1995)＝ f(x＋1994)＋f(x＋1996)，试判断f(x)是否周期函数．若是，求出它的一个周期

；若不是，说明理由． 在f(x＋1995)＝f(x＋1994)＋f(x＋1996) (x∈R)中，以x 代x ＋1995，得 f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)； (1) 在(1)中

以x＋1 代x，得 f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)． (2) (1)＋(2)，得f(x－1)＋f(x＋2)＝0， ∴f(x－1)＝－f(x＋2)． (3) 在(3)中以x＋1 代x

，得 f(x)＝－f(x＋3)； (4) 在(4)中以x＋3 代x，得 f(x＋3)＝－f(x＋6)． (5) 将(5)代入(4)，得f(x＋6)＝f(x)． ∴f(x)为周期函数

，6 是它的一个周期．

四、递推法

f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由． (1) 在(1)中以x＋2 代x，得 f(x＋4)＝f(x＋6)＋f(x＋2)． (2)

(1)＋(2)，得f(x)＋f(x＋6)＝0， ∴f(x)＝－f(x＋6)． (3) 在(3)中以x＋6 代x，得 f(x＋6)＝－f(x＋12)． (4) (4)代入(3)，得f(x＋

12)＝f(x)． ∴f(x)为周期函数，12 是它的一个周期．

五、消去法

若函数f(x)定义在R 上，且对一切实数x，都有f (5＋x)＝f (5－x)，f (7＋x)＝ f (7－x)，试判断f(x)是不是周期函数．若是，求出它的

一个周期；若不是，说明理由． 在f(5＋x)＝f(5－x)中以5－x 代x，得 f(x)＝f(10－x)； (1) 在f(7＋x)＝f(7－x)中以7－x 代x，得 f

(x)＝f(14－x)． (2) 由(1)和(2)，得 f(10－x)＝f(14－x)． (3) 在(3)中以10－x 代x，得f(x＋4)＝f(x)． ∴f(x)是周期函数，4 为它

的一个周期．

六、结构类比法

f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由． 可视sinx 为本题中f(x)的一个实例，由此可设想f(x)为周期函数，

且2π 是它的一个周期．下面进行证明： 于是f(x＋2π )＝f[(x＋π )＋π ]＝－f(x＋π )＝f(x)． ∴f(x)为周期函数，2π 是它的一个

周期．

七、公式法

已知y＝f(x)(x∈R)的图象是连续的曲线，且f(x)不为常数， f(x)的图象关于直线x＝a 和直线x＝b 对称(a＜b)． (1)求证：f(x)＝f(2a－

x)，f(x)＝f(2b－x)； (2)求证f(x)是周期函数，并求出它的一个正周期． (1)∵ f(x)的图象关于直线x＝a 对称，且图象连续，不是平行

于x 轴的直线， ∴设P(x，y)为曲线上任一点，点P 关于x＝a 的对称点P'的坐标为P'(x'，y'), 同理可证 f(x)＝f(2b－x)． (2)由(1)可知

，f(x)＝f(2a－x)＝f(2b－x)， ∴f(2a－x)＝f(2b－x)，以x 代2a－x，得f[x＋(2b－2a)]＝f(x)． ∵a＜b，2b－2a＞0 且为常数， ∴f

(x)是周期函数，2b－2a 为它的周期． 由例8 可得到如下的 若函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线x＝a 和直线x＝b(a ＜b)对称，且在这两

条直线之间再无对称轴，那么f(x)是周期函数，2b －2a 为它的周期． 此定理可当作一个公式用，如例6 中函数f(x)的周期为2 7－2 5 ＝4

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