矩阵的相似矩阵相似的性质

若矩阵[公式] 与矩阵 [公式] 相似

仅对第3条进行证明

[公式]

实对称矩阵，反实对称矩阵和正定矩阵实对称矩阵

1.[公式] 阶实对称矩阵有 [公式] 个实特征值（以下证明中 [公式] 代表 [公式] 的各元素模长的平方和）

设[公式] 为 [公式] 属于 [公式] 的特征向量

[公式]

[公式]

[公式] ，可知 [公式] 为实数

2.若[公式] 为对称矩阵，则 [公式] 也为对称矩阵

反对称矩阵

1.[公式] 是 [公式] 阶反对称矩阵当且仅当对任意 [公式] 维向量都有 [公式]

证明：

设A为反对称矩阵，由于[公式] 是一个数，可知 [公式]

则[公式]

易知[公式]

反之，若已知对任意[公式] 都有 [公式] ，记 [公式]

取[公式] （第 [公式] 个数为 [公式] ，其余为 [公式] ）

则有[公式]

可知对角线上的元素均为0

取[公式]

则[公式] ，可知 [公式]

从而[公式] 为反对称矩阵。证毕。

2.（2024春夏）[公式] 是反对称矩阵当且仅当 [公式]

显然，[公式]

当[公式] ，即 [公式]

记[公式]

[公式]

可知[公式] ，则 [公式] 为反对称矩阵。

3.实反对称矩阵特征值为0或是纯虚数

设[公式] 为实反对称矩阵， [公式] 为 [公式] 的属于 [公式] 的特征向量

[公式]

[公式]

可知[公式] ，得证。

4.反对称矩阵的行列式

阶数为奇数时[公式] ,则 [公式]

阶数为偶数时[公式] 的特征值为0或纯虚数，且共轭虚数成对出现，有 [公式]

正定矩阵

本校线性代数仅在实数域上考虑正定矩阵，可以认为正定矩阵一定是实对称矩阵

设[公式] 为 [公式] 阶实对称矩阵，则如下结论等价

此处仅证第5条

由性质4可知[公式] ,则 [公式]

用齐次线性方程组只有零解证明可逆

（2024春夏）设[公式] 是 [公式] 阶正定矩阵， [公式] 是反对称矩阵，证明 [公式] 可逆。

证明[公式] 可逆，即证 [公式] 只有零解

若有[公式]

则有[公式]

[公式]

两式相加，[公式] ，由 [公式] 的正定性知 [公式] ,得证

证明特征值均为实数

显然看到如上标题，我们就想到了实对称矩阵特征值均为实数

（2024秋冬）[公式] 为 [公式] 阶实对称矩阵， [公式] 为 [公式] 阶正定矩阵，证明 [公式] 的特征值均为实数

由[公式] 的特征值均为实数想到 [公式] 与某实对称矩阵相似

由[公式] 为实对称矩阵，知存在可逆矩阵 [公式] 使得 [公式] 则 [公式]

[公式] 仍为对称矩阵，得证。

（2024秋冬）设[公式] 都是 [公式] 阶实对称矩阵且 [公式] 正定，试证明 [公式] 可相似对角化

该题与上题思路基本一样，读者可自行尝试

通过证明特征值不为0来证明实对称矩阵可逆

由于实对称矩阵的特征值均为实数，而[公式] ，可知特征值均不为0即可证明 [公式] 可逆

（2024春夏）设[公式] 是 [公式] 阶实对称矩阵，如果有 [公式] 阶实矩阵 [公式] ，使得 [公式] 的所有特征值为正实数，证明 [公式] 可逆。

很容易发现[公式] ，即 [公式] 对称且正定。

[公式] （这是一个数，转置也还是一个数）

设[公式] , [公式]

可知[公式] ，得证。

用特征值说明某行列式不为0

（2024秋冬）设[公式] 为可逆的 [公式] 阶矩阵， [公式] 为 [公式] 阶实反对称矩阵，且有 [公式] ，证明 [公式] 可逆

由[公式] 知 [公式]

只需证明[公式]

首先证明[公式]

由[公式] 可逆， [公式]

由[公式]

[公式] 为反对称矩阵

可知其特征值不可能为[公式]

从而[公式] ，得证。