勾股定理的逆定理证明

勾股定理的逆定理是判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形的一个简单的方法。若c为最长边，且a_+b_=c_，则ΔABC是直角三角形；如果a_+b_>c_，则ΔABC是锐角三角形；如果a_+b_

根据余弦定理，在△ABC中，cosC=（a_+b_-c_）÷2ab。

由于a_+b_=c_，故cosC=0；

因为0°<∠C<180°，所以∠C=90°。（证明完毕）

已知在△ABC中，，求证∠C=90°

证明：作AH⊥BC于H

⑴若∠C为锐角，设BH=y，AH=x

得x_+y_=c_，

又∵a_+b_=c_，

∴a_+b_=x_+y_（A）

但a>y，b>x，∴a_+b_>x_+y_（B）

（A）与（B）矛盾，∴∠C不为锐角

⑵若∠C为钝角，设HC=y，AH=x

得a_+b_=c_=x_+（a+y）_=x_+y_+2ay+a_

∵x_+y_=b_，

得a_+b_=c_=a_+b_+2ay

2ay=0

∵a≠0，∴y=0

这与∠C是钝角相矛盾，∴∠C不为钝角

综上所述，∠C必为直角