向量的点乘和叉乘是向量运算的两种基本形式，它们在数学和物理学中有各自的特性和应用。点乘，也称作内积或数量积，其结果是一个标量，即一个数值。向量a和向量b的点乘计算公式为向量a·向量b=|a||b|cos。在实际中，如求解力对位移的功，就使用了点乘。点乘体现了两个向量之间的夹角关系。

相比之下，叉乘，又称外积或向量积，其结果是一个新的向量。向量a和向量b的叉乘记为向量c，其模长|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin。叉乘的方向特殊，它与a和b所在的平面垂直，并且可以通过"右手法则"来确定。这种运算不遵守乘法交换律，即向量a×向量b与向量b×向量a方向相反。在物理学中，力矩的计算就是通过向量的叉乘进行的。

当我们用坐标表示向量时，若向量a=(a1,b1,c1)和向量b=(a2,b2,c2)，点乘的计算为向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2，而叉乘的结果更复杂，用ijk坐标轴的单位向量表示为向量a×向量b=|ijk||a1b1c1||a2b2c2|=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)。点乘和叉乘各自揭示了向量的不同性质，适用于不同的物理和数学问题。