参考文献: L.C. Evans《Partial Differential Equations》2nd Ed, Berkeley

本文作为偏微分方程笔记系列的开篇，旨在简单介绍并提供基础理解。请读者多多包涵。

设空间中的一个点为 [公式]，时间表示为 [公式]。在偏微分方程中，[公式]代表 [公式]关于空间变量 [公式]的梯度，[公式]代表 [公式]关于时间的偏导数。

输运方程(transport equation)定义如下:

[公式]

其中 [公式]是固定向量。

对于输运方程，我们假设存在一个光滑解[公式]，然后尝试计算。注意到方程(1)表明在特定方向上的导数为0，对任意点 [公式]，我们定义：

[公式]

接下来，利用方程(1)计算得到：

[公式]

因此[公式]是关于s的常函数。这意味着，对于每个点 [公式]，在穿过 [公式]且方向是 [公式]的直线上，u值为常数。因此，如果知道了该直线上任意一点的u值，则可以得知 [公式]在该直线上的值。

初值问题考虑如下形式：

[公式]

其中[公式]给定，现在需要求解u的表达式。固定[公式]穿过 [公式]且方向为 [公式]的直线可以用参数方程 [公式]表示，当 [公式]时，此直线与平面 [公式]相交于点 [公式]。由于 [公式]是直线上的常数，且 [公式]，因此得到：

[公式]

如果方程(2)存在足够好的解[公式]，则此解应形如(3)。若 [公式]，则式(3)满足方程(2)。值得注意的是，如果 [公式]，则方程(2)可能没有 [公式]解，此解则被称为“弱解”。然而，有时不光滑甚至不连续的函数也能作为PDE的一个弱解。

非齐次初值问题考虑如下形式：

[公式]

通过前面的过程启发，我们固定[公式]，记 [公式]，则得到：

[公式]

因此：

[公式]

此表达式即为初值问题(4)的解。将来将运用此方法解决一维波动方程。

注：实际上，我们是通过有效地将PDE转化为ODE，最终得到PDE的解。这些步骤是“特性曲线法”的一种特例，以后可能会详细讲解。