实数在数学中是一个重要概念，它指的是那些在数轴上与点一一对应的、没有虚数部分的数。实数包括两个主要类别：有理数和无理数。有理数包括可以表示为两个整数比的数，如分数，以及无限循环小数和有限小数；而无理数则是无限不循环小数，如圆周率π，以及开根开不尽的数。实数的定义最初仅指一般意义上的数，但随着虚数概念的引入，实数便被赋予了“实在的”含义，以区别于虚数。

实数的构造可以通过一系列的数学方法，如用无限接近某个实数的十进制或二进制序列来定义。实数集合通常用 R 或 R^n 表示，其中 R^n 表示 n 维实数空间，且实数集合是不可数的，是实分析的核心研究对象。实数可以进行基本运算，如加减乘除，对于非负数还可以进行开方。实数的完备性体现在它的柯西序列都有实数极限，这是微积分的基础，也是实数区别于有理数的关键特性。

在数学中，实数具有多种完备性概念，如戴德金完备性和一致完备性，这些完备性意味着实数集合在处理极限问题时表现出的完整性。实数集合R的独特性还体现在它是唯一的一致完备的阿基米德域，这意味着在实数中添加任何元素都可能导致它不再是阿基米德域的特性。