角平分线定理的证明如下：

设在三角形 ABC 中，角 BAD 是角 BAC 的平分线，垂直于 BC 的线段 AD 交角 BAC 的边 BC 于点 D。

我们需要证明 BD/CD = AB/AC。

首先，根据角平分线的定义，角 BAD 和角 DAC 是相等的，即∠BAD = ∠DAC。

其次，根据三角形的相似性原理，我们可以得到两组相似三角形：△ABD 相似于 △ACD 和 △BAD 相似于 △CAD。

根据相似三角形的性质，我们有以下比例关系：

AB/BD = AC/CD  （来自于△ABD 和 △ACD 的相似性）

AB/AD = AC/AD  （来自于△BAD 和 △CAD 的相似性）

由于 AD 是公共边，所以可以进行一次等式变形，将上述两个比例关系相加：

AB/BD + AB/AD = AC/CD + AC/AD

将等式右侧进行合并：

AB(BD + AD)/(BD × AD) = AC(CD + AD)/(CD × AD)

通过一次等式变形，我们可以将等式化简为：

AB/BD = AC/CD

这就证明了角平分线定理。根据该定理，如果 BD 是角 BAC 的角平分线，那么 BD/CD = AB/AC。