不定积分就是利用变形

分部

凑微分来解的

第1个可以用降幂公式打开

在凑

第2个是不是有点象反正切的积分？

解不定积分都有很多方法的

降幂公式:

∫(sinx)^n

dx

=(-1/n)cosx(sinx)^(n-1)+(1/n)(n-1)∫(sinx)^(n-2)

dx

∴∫sin²x

dx

=(-1/2)cosx(sinx)^(2-1)+(1/2)(2-1)∫(sinx)^(2-2)

dx

=(-1/2)cosxsinx+(1/2)∫dx

=x/2-(1/2)sinxcosx+C

用倍角公式都可以:cos2x=1-2sin²x

原式=(1/2)∫(1-cos2x)

dx

=(1/2)∫

dx-(1/4)∫cos2x

d(2x)

=x/2-(1/4)sin2x+C

=x/2-(1/2)sinxcosx+C

第二条比较麻烦的:

∫1/(1+sin²x)

dx

=∫1/[1+(1-cos2x)/2]

dx

=2∫1/(3-cos2x)

dx,令t=2x,dt=2dx

=∫1/(3-cost)

dx,这下需要用到万能代换,令z=tan(t/2),dt=2/(1+z²)

dz,而cost=(1-z²)/(1+z²)

原式=∫2/【(1+z²)[3-(1-z²)/(1+z²)]】

dz=2∫1/[(z²+1)(3+3z²-1+z²)/(1+z²)]

dz

=2∫1/(2+4z²)

dz=∫1/(1+2z²)

dz,令z=(1/√2)tanG,dz=(1/√2)sec²G

dG

=(1/√2)∫sec²G/[1+2(1/√2tanG)²]

dG

=(1/√2)∫sec²G/(1+tan²G)

dG

=(1/√2)∫

dG=(1/√2)G+C

=(1/√2)arctan(√2z)+C

=(1/√2)arctan[√2tan(t/2)]+C

=(1/√2)arctan(√2tanx)+C