三角形的五心是几何学中重要的相关点，它们分别是内心、外心、重心、垂心和旁心。内心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等。外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。重心是三角形三条中线的交点，到顶点的距离是到对边中点距离的两倍。垂心是三角形三条高的交点，能构成很多直角三角形相似。旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，到三边的距离相等。

三角形的重心和三顶点的连线构成的三个三角形面积相等；外心到三顶点的距离相等；垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；内心、旁心到三边距离相等；垂心是三垂足构成的三角形的内心；外心是中点三角形的垂心；中心也是中点三角形的重心；三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。

三角形的重心定理指出，三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍，这点称为三角形的重心。外心定理说明，三角形三边的垂直平分线交于一点，这点称为三角形的外心。垂心定理表明，三角形三条高的交点称为三角形的垂心。内心定理指出，三角形三内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心。旁心定理说明，三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点称为三角形的旁心。

三角形的五心在几何学中有广泛的应用，这些点的性质和关系对于解决几何问题非常重要。三角形内心的性质包括：三条角平分线交于一点，这点到三边的距离相等，等于内切圆半径r；r=S/p；在直角三角形中，r=(a+b-c)/2；∠BIC=90°+A/2；点O是平面ABC上任意一点，点I是三角形内心的充要条件是a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0；点O是平面ABC上任意一点，点I是三角形内心的充要条件是向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)；三角形内心I的坐标是(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))。

三角形外心的性质包括：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，这点即为三角形外接圆的圆心；锐角三角形的外心在三角形内，钝角三角形的外心在三角形外，直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；GA=GB=GC=R；∠BGC=2∠A或∠BGC=2(180°-∠A)；R=abc/4S⊿ABC；点G是平面ABC上一点，那么点G是三角形外心的充要条件是(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0。

三角形重心的性质包括：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1；重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等；重心到三角形3个顶点距离的平方和最小；在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3；三角形内到三边距离之积最大的点。

线段的重心就是线段的中点，平行四边形的重心就是它两条对角线的交点。

这些点的性质和关系构成了三角形五心定理，是几何学中不可或缺的知识。