判断两个矩阵合同的方式有：求解特征值和特征向量、求解矩阵的秩、求解矩阵的正交矩阵、求解矩阵的奇异值分解。

1、求解特征值和特征向量：如果两个矩阵具有相同的特征值和特征向量，则它们是合同的。这是因为合同矩阵具有相同的特征值和特征向量，而特征值和特征向量是矩阵相似性的重要指标。

2、求解矩阵的秩：如果两个矩阵的秩相同，则它们是合同的。这是因为合同矩阵具有相同的秩，但是秩相同的矩阵不一定是合同的。

3、求解矩阵的正交矩阵：如果两个矩阵可以通过正交矩阵相似，则它们是合同的。这是因为正交矩阵具有特殊的性质，可以保持矩阵的内积不变，从而保持矩阵的相似性。

4、求解矩阵的奇异值分解：如果两个矩阵具有相同的奇异值分解，则它们是合同的。这是因为奇异值分解是矩阵分解的一种重要方法，可以将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是对角矩阵，另外两个是正交矩阵。