叉乘（向量积）的运算法则可以用以下数学公式表示，假设我们有两个三维向量 (\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)) 和 (\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3))，它们的叉乘结果 (\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}) 可以计算为：

[ \mathbf{c} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \ a_3b_1 - a_1b_3 \ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} ]

或者利用行列式的形式表示为：

[ \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \ \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a_2b_3 - a_3b_2) + \mathbf{j}(a_3b_1 - a_1b_3) + \mathbf{k}(a_1b_2 - a_2b_1) ]

这里，(\mathbf{i}), (\mathbf{j}), 和 (\mathbf{k}) 分别代表三维空间的标准正交基，对应 x、y、z 方向的单位向量。

此外，叉乘满足以下性质：

• 反交换律：(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}))，表明叉乘结果的方向与向量的顺序有关。

• 零向量规则：如果 (\mathbf{a}) 和 (\mathbf{b}) 是共线的（即一个是另一个的倍数），它们的叉积为零向量。

• 模长关系：叉乘结果的模（长度）等于原向量构成的平行四边形的面积，即 (|\mathbf{c}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin{\theta})，其中 (\theta) 是 (\mathbf{a}) 和 (\mathbf{b}) 之间的夹角。