著名的“七桥问题”，凝聚着欧拉的研究心血。哥尼斯堡，位于现在的加里宁格勒。在哥尼斯堡，有一条河名叫勒格尔河。勒格尔河上修有七座桥，并且有两条支流，一为新河，一为旧河。三河在城中心汇合，在合流处是哥尼斯堡的商业中心哥尼斯岛。问题是：一个人能否一次走遍所有的七座桥；每座桥只准通过一次，无论来回，最后仍然回到出发点呢？欧拉把所有可能的走法全都列举出来，他先计算了一下，发现共有5040种走法。那么要是全都画出来，看一看有没有可能满足以上问题，太笨了。而且数目更多的河与桥怎么办？显然，一一去数，不是办法。于是欧拉把地图抽象为几何问题，他想到把岛和陆地看成四个点，把桥看成七条线。点与线的关系成为研究的焦点。就像下面的图形：其实，画成什么样都行，不管是直线还是曲线，只要连接关系不变就可以。第二个图就是著名的“欧拉金蝉”。它像不像抽象了的带翼的蝉？如此一来，问题就改变成；以上图形能不能从A、B、C、D四点中任意一点出发，绕过所有的线路，不重复，而最终回到这一点？1736年，欧拉研究了这个问题后写出来他的成果：“几何学中，除了早在古代就已经仔细研究过一种几何，就是不关心量和量的测量，而关心的是位置。我们应该考虑一下仅仅研究各个部分相互位置的规则，不研究尺寸大小。这可以称为位量几何学。”欧拉指出，如果从一点出发，引出来的线是奇数条，就称这个点叫奇点。比如图中的A点就是奇点。其实，上图A、B、C、D四点都是奇点。如果从一点出发，引出来的线条是偶数条，我们就把这个点叫做偶点。如三角形的三个顶点，正方形的顶点。当然，如果把正方形的两条对角线也画出，就是奇点了。点和线不管长度和形状，相连而成网络。问题又可以进一步变成：网络怎样才能一笔画出。欧拉通过研究，得出来结论：

若能一笔画出一个网络，必须察看网络中奇点偶点的个数。如果网络奇点的个数是2或者是0，那么就可以，如果是其他情况，那么都画不出来。考察一下七桥网络，它的四个点全是奇点，也就是说，网格中的奇点个数是4，所以要想满足七桥问题，是没有这样的路线存在的。欧拉的研究超出了传统欧氏几何的范围，奠定了“网络论”几何的基础，开辟了“拓扑学”之先河。