通过推导出余弦公式

cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

将b用-b代替得

cos(a+b)=cosa*cos(-b)+sina*sin(-b)=cosa*cosb-sina*sinb

在第一个等式中将a换成a-pai/2得

sin(a-b)=cos(a-pai/2)cosb+sin(a-pai/2)sinb=sina*cosb-cosa*sinb

在第二个等式中将a换成a-pai/2得

sin(a+b)=cos(a-pai/2)cosb-sin(a-pai/2)sinb=sina*cosb+cosa*sinb

也可由欧拉公式exp{x}=cosx+isinx

exp{a+b}=exp{a}*exp{b}得

cos(a+b)+isin(a+b)=(cosa+isina)(cosb+isinb)

比较等式两边虚部得sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb

同样的由exp{a-b}=exp{a}*exp{-b}

得sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb