函数连续的判断标准是函数在其定义域上的所有点上都存在极限，并且这些极限都等于函数在该点的函数值。

1、连续性概念介绍

连续性是数学分析中一个重要的概念，它描述了函数在某个点附近的行为。如果函数在定义域的某一点上满足一定的条件，我们就说函数在该点处连续。

2、函数的定义域

一个函数的定义域是指函数所能接受的有效输入的集合。在判断函数是否连续时，我们需要确定函数的定义域。

3、极限的定义

当我们讨论函数在某一点的连续性时，必须引入极限的概念。一个函数在某一点的极限可以被形式化地定义为：当自变量趋近于该点时，函数值趋近于某个确定的值。在数学中，可以使用极限运算符来表示函数的极限。

4、极限存在的条件

为了判断函数在某一点的极限是否存在，我们可以通过一些条件来进行判断。这些条件包括左极限和右极限的存在性以及它们是否与函数的函数值相等。

5、极限等于函数值

函数在某一点连续的条件之一是其函数值与极限值相等。也就是说，如果一个函数在某一点的极限存在，并且该极限等于函数在该点的函数值，那么函数在该点连续。

6、连续函数的性质

连续函数具有一些重要的性质。例如，连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数；连续函数的复合函数也是连续函数。

7、连续函数的例子

让我们来看一些连续函数的例子：多项式函数、指数函数、三角函数以及取值在定义域上的其他一些基本函数都是连续的。

8、不连续函数的分类

除了连续函数之外，还有一些函数在某些点上是不连续的。这类函数可以被分为三类：第一类间断点是可去间断点，第二类间断点是跳跃间断点，第三类间断点是无穷间断点。

9、间断点的性质

不连续点具有一些特点。例如，可去间断点的存在意味着函数在该点可能存在一个洞；跳跃间断点的存在意味着函数在该点的两个侧面存在一个“断裂”的现象；而无穷间断点表示函数在该点的极限趋于无穷或没有定义。

总结：

函数连续的判断标准是函数在其定义域上的所有点上都存在极限，并且这些极限都等于函数在该点的函数值。这种连续性可以通过极限的定义和判断标准来确定。我们还介绍了连续函数的性质，以及不连续函数的分类和性质。熟练掌握判断函数连续性的方法对于数学分析和实际问题的解决都非常重要。