斐波那契数列，这个神秘的序列，无处不在，从自然界的各种形态中都能找到它的身影。例如，松果、凤梨的排列，向日葵的花瓣数（典型为34瓣），甚至是蜂巢、蜻蜓翅膀的结构，都与它有着千丝万缕的联系。它与数学中的黄金矩形、黄金分割、等角螺线，以及音乐中的十二平均律等概念紧密相连。

随着数列项数的增长，相邻两项的比例会趋近于著名的黄金分割比例0.6180339887...，呈现出一种美丽的规律性。从第二项开始，奇数项的平方总是比前后两项之积多1，偶数项的平方则比之少1。例如，1的平方比1和2的积少1，而2的平方比1和3的积多1。

斐波那契数列的每个项，还有一个独特的性质，它表示了不含连续正整数的集合中子集的数量。另外，这个数列还有一些有趣的数学公式，如：f(n)的平方等于(-1)^(n-1)加上前后两项的乘积，或者f(2n-1)等于f(n)的平方减去f(n-2)的平方，等等。

利用这些性质，我们可以编写出运行时间极低的程序，只需要O(log n)的时间复杂度。而斐波那契数列的整除性也显示出其与素数之间的关系，比如每三个连续数中只有一个能被2整除，每四个中只有一个能被3整除，等等。至于数列的个位数，它遵循一个60步的循环模式，甚至在植物的花瓣数量和叶子排列中，也能找到斐波那契数列的踪迹。

扩展资料

斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。