机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。

2.5.1 拉普拉斯变换的定义

如果有一个以时间t为自变量的实变函数 ，它的定义域是 ，，那么的的拉普拉斯变换定义为

(2.10)

是复变数， （σ、ω均为实数）， 称为拉普拉斯积分； 是函数 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 为 的象函数，而称 为 的原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的符号。

式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 。

1.单位阶跃函数 的拉氏变换

单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为

单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。

单位阶跃函数的拉氏变换式为

当 ，则 。

所以：

（2.11）

2.指数函数的拉氏变换

指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。

令

则与求单位阶跃函数同理，就可求得

（2.12）

3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换

设，，则

由欧拉公式，有

所以

(2.13）

同理 (2.14）

4.单位脉冲函数 δ(t) 的拉氏变换

单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。其幅值和作用时间的乘积等于1，即。如图2.8所示。

单位脉冲函数的数学表达式为

其拉氏变换式为

此处因为时，，故积分限变为。

(2.15)

2.5.3 拉氏变换的主要定理

根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但利用以下的定理，则对一般的函数可以使运算简化。

1.叠加定理

拉氏变换也服从线性函数的齐次性和叠加性。

（1）齐次性 设，则

（2.18）

式中——常数。

（2）叠加性 设,，则

（2.19）

两者结合起来，就有

这说明拉氏变换是线性变换。

2.微分定理

设

则

式中——函数在 时刻的值，即初始值。

同样，可得的各阶导数的拉氏变换是

（2.20）

式中,，…——原函数各阶导数在时刻的值。

如果函数及其各阶导数的初始值均为零（称为零初始条件），则各阶导数的拉氏变换为

（2.21）

3.复微分定理

若可以进行拉氏变换，则除了在 的极点以外，

（2.22）

式中， 。同样有

一般地，有

（2.23）

4.积分定理

设 ，则

（2.24）

式中——积分 在 时刻的值。

当初始条件为零时，

（2.25）

对多重积分是

（2.26）

当初始条件为零时，则

（2.27）

5.延迟定理

设 ，且 时， ，则

（2.28）

函数为原函数沿时间轴延迟了，如图2.11所示。

6.位移定理

在控制理论中，经常遇到 一类的函数，它的象函数只需把 用代替即可，这相当于在复数坐标中，有一位移。

设，则

（2.29）

例如 的象函数，则的象函数为

7.初值定理

它表明原函数在 时的数值。

（2.30）

即原函数的初值等于 乘以象函数的终值。

8.终值定理

设，并且 存在，则

（2.31）

即原函数的终值等于乘以象函数的初值。 这一定理对于求瞬态响应的稳态值是很有用的。

9.卷积定理

设，，则有

（2.32）

即两个原函数的卷积分的拉氏变换等于它们象函数的乘积。

式（2.32）中， 为卷积分的数学表示，定义为

10.时间比例尺的改变

（2.33）

式中 ——比例系数

例如,的象函数 ,则 的象函数为

11.拉氏变换的积分下限

在某些情况下,在 处有一个脉冲函数。这时必须明确拉普拉斯积分的下限是 还是 ，因为对于这两种下限， 的拉氏变换是不同的。为此，可采用如下符号予以区分：

若在 处 包含一个脉冲函数，则

因为在这种情况下

显然，如果 在处没有脉冲函数，则有

2.5.4 拉普拉斯反变换

拉普拉斯反变换的公式为

（2.36）

式中 ——表示拉普拉斯反变换的符号

通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数 。

1. 部分分式展开法

在控制理论中，常遇到的象函数是的有理分式

为了将 写成部分分式，首先将 的分母因式分解，则有

式中， ， ，…， 是的根的负值，称为的极点，按照这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。