有关匀变速直线运动一些特殊规律的证明与应用

一、 规律概览

由匀变速直线运动的两个基本规律可得到一些相关的推论，有意识地利用它们来解题,往往会收到意想不到的效果。这些规律总结起来主要有：

（一）、初速度为零的匀加速直线运动的规律：

Ⅰ．1T末、2T末、3T末……瞬时速度的比为

Ⅱ．1T内、2T内末、3T内……位移的比为

Ⅲ ．在连续相同时间内位移之比为奇数比，即第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移的比是：

Ⅳ．从静止开始经历连续相同的位移所需时间之比为

（二）、匀变速直线运动的物体在任意两个连续相等的时间里的位移之差是个恒量

（三）、匀变速直线运动的物体,在某段时间中点时刻的瞬时速度等于物体在这段时间内的平均速度,即

由于涉及到的规律较多，枯燥生硬，好多同学记不准确,因此明知该用规律解题的，怕用不好，也就放弃了。并且书本上对规律的证明往往反复采用匀变速直线运动的公式,较繁杂,如果采用速度图象来证明，过程不仅简单，而且物理意义也是十分清楚的，便于大家记忆和使用规律，能促使学生把推论付诸应用，现在来看一下如何证明。

二、 规律证明：

对于速度图象我们要明白两点：斜率表示加速度，速度图象与时间轴和时刻线所围面积表示位移。

1． 规律（一）Ⅰ证明：物体做初速度为零的匀加速直线运动，所以速度图象为过原点的一条倾斜直线，如图1所示，三角形OAB与三角形OCD相似

有相似比

因此

2．规律（一） Ⅱ证明：如图1所示，T秒内的位移为三角形OAB的面积，nT秒内的位移为三角形OCD的面积，因面积比等于相似比的平方，所以

即

3．规律（一）Ⅲ证明：如图2所示，

，同理

即

4．规律（一）Ⅳ证明：图3所示，因为通过连续相等的位移，所以

由以上两式得

又 同理可得，

有

所以

5．规律（二）证明：由图4知，矩形BDFE的面积表示Δs。因为图线的斜率为 ,在直角三角形ABD中， , 又 ，所以矩形BDFE的面积为 ，即Δs= 。．

6．规律（三）证明：如图5， ，E是DF这一段时间的中点时刻，从图中容易看出，BE是梯形ADFC的中位线，因此有 。

三．典例精析

抓住题给条件特征，应用以上规律，找到求解的最佳方式，可以简洁快捷的解题。

1．关于自由落体运动，下列说法中正确的是

A．在运动途中某连续三个1s内的位移之比是1：2：3

B．在开始连续的三个1s内的位移之比是1：3：5

C．在开始连续的三个1s末的速度大小之比是1：2：3

D．它是vo=0、a=g的竖直向下的匀加速直线运动

[解] 自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，所以在运动途中任三个相同时间内的位移之比为奇数比，所以A错；在开始连续的三个相同时间内的位移之比为1：3：5，B正确，对初速度为零的匀加速运动速度之比等于时间之比，即1：2：3，C正确；D选项是自由落体运动的性质，是正确的。

2． 站台上有一观察者，在火车开动时站在第一节车厢前端的附近，第一节车厢在5秒内驶过此人，设火车做匀加速运动，求第十节车厢驶过此人需多少时间？

[解] 以列车为参考系，观察者相对列车做初速度为零的匀加速运动，所以 ，

3．运行着的汽车制动后做匀减速直线滑行，经3．5秒停止，试问它在制动开始后的1秒内、2秒内、3秒内通过的位移之比为多少？

[解] 如图6所示，汽车从0开始制动后，1秒末到A，2秒末到B，3秒末到C，停止在D。这个运动的逆过程可看成初速度为零的匀加速运动，加速度的数值等于汽车做匀减速直线运动时的加速度。将3．5秒等分为7个0．5秒，那么逆过程从D起的连续7个0．5秒内的位移之比为1：3：5：7：9：11：13。在图中， 。汽车从0起1秒内、2秒内、3秒内的位移即图中的 , , ,所以

该题若从基本规律入手通过代数变换求解，不够简洁

4．如图7有若干相同的小钢球从斜面的某一位置每隔0．1s释放一颗，在连续释放若干颗钢球后，对斜面上正在滚动的若干小球摄下照片如图，测得AB=15cm,BC=20cm, 试求（1）．拍照时B球的速度（2）．A球上面还有几颗正在滚动的小球。

[解]（1）图7可看作一个小球在斜面上每隔0．1s到达位置的照片。由于B点是AC段的时间中点，根据结论知

（2）因每两个小球时间差相等，所以

B球已运动时间

在A球上面正在滚动的球个数