【均值不等式的简介】

概念：

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)

3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n

4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]

这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn

a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号

均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);

(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）

则有：当r

注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)

●【均值不等式的变形】

(1)对正实数a,b，有a�0�5+b�0�5≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a�0�5+b�0�5>0>-2ab

(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a×b)≥0，即(a+b)/2≥√(a×b)≥0

(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a×b)

(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)

(5)对非负数a,b，有a�0�5+b�0�5≥2ab≥0

(6)对非负数a,b，有a�0�5+b�0�5 ≥�0�5×(a+b)�0�5≥ab

(7)对非负数a,b,c，有a�0�5+b�0�5+c�0�5≥1/3*(a+b+c)�0�5

(8)对非负数a,b,c，有a�0�5+b�0�5+c�0�5≥ab+bc+ac

(9)对非负数a,b，有a�0�5+ab+b�0�5≥�0�6×a+b)�0�5

2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a�0�5+b�0�5)/2）

●【均值不等式的证明】

方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

下面介绍个好理解的方法

琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，

则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]

设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数

所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn)

即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)

●【均值不等式的应用】

例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)

证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3

所以，2√x≥3-1/x

例二 长方形的面积为p，求周长的最小值

解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p

因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p

周长最小值为4√p

例三 长方形的周长为p，求面积的最大值

解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p

因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16

面积最大值是p^2/16望采纳。谢谢