深入探讨傅里叶变换及其逆变换公式的推导过程，我们首先明确傅里叶变换的基本形式为：f(t)与F(u)的关系由以下公式描述：

f(t) = ∫ F(u) e^(i2πut/T) du

当m=n时，f(t)与F(u)在特定点的值相等，公式为：

f(t) = F(u)

当m≠n时，我们通过傅里叶变换将时间域信号f(t)转换为频域表示F(u)：

F(u) = ∫ f(t) e^(-i2πut/T) dt

接下来，用累积信号P(t)去逼近f(t)，并求P(t)与f(t)的平方和误差：

误差 = ∫ (P(t) - f(t))^2 dt

在n=0时，傅里叶变换的初始条件表明：

F(u) = ∫ f(t) dt

当n=1时，计算进一步细化：

F(u) = ∫ f(t) cos(2πut/T) dt + i∫ f(t) sin(2πut/T) dt

当n=n时，傅里叶变换达到完整形式：

F(u) = ∑ c_n * e^(i2πn(u/T))

其中，c_n代表了频谱系数。

我们设傅立叶级数的基本周期为T，角频率ω为基频，因此：

ω = 2π/T

傅里叶逆变换旨在将频域信号F(u)还原回时间域信号f(t)，其公式为：

f(t) = (1/T) ∫ F(u) e^(i2πut/T) du

综上所述，傅里叶变换及其逆变换是将信号从时间域转换到频域，再从频域回转换到时间域的关键工具。通过上述推导，我们更深入地理解了傅里叶变换在信号处理、图像分析和各种工程应用中的重要性。