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蝴蝶定律是什么定律
时间:2024-12-23 20:44:48
答案

蝴蝶定律是是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。

蝴蝶定理(Butterfly Theorem),是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年,由W.G.霍纳提出证明。而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号,题目的图形像一只蝴蝶。这个定理的证法不胜枚举,仍然被数学爱好者研究,在考试中时有各种变形。

通过射影几何,我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线(包括椭圆,双曲线,抛物线,甚至退化到两条相交直线的情况)。圆锥曲线C上弦PQ的中点为M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点。

而通过投影变换可以非常容易证明这个定理。射影几何里面关于投影变换有一个重要结论,对于平面上任意两个圆锥曲线C1,C2任意指定C1内部一个点A1和C1上面一个点B1,另外任意指定C2内部一个点A2和C2上面一个点B2,存在唯一一个投影变换将曲线C1变换到C2而且A1变换到A2,B1变换到B2。

由此对于本题,我们可以通过投影变换将C1变换成一个圆M,而将弦PQ的中点M变换成这个圆的圆心。在此变换以后,弦AB和CD都是圆M的直径而且四边形ACBD是圆M内接矩形,PQ也是一条直径,由对称性显然得出投影变换后M为X,Y的中点。

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