探索构造微分方程证明余元公式的方法，特别提及此法源于Dedekind[1]，颇为巧妙且易于理解。首先，设定公式。

通过换元技巧，得到公式。

接着，将公式（2）和公式（3）相加，再做除法操作，最终得到公式。

将上述结果对公式在区间内进行积分，得出公式。

通过整理，得到公式。

进一步操作后，得到公式。

简化公式（2）和（3），得到公式。

再次对公式在区间内积分，得到公式。

结合公式（7）、（8）和（9），得出公式。

将公式（10）中的变量替换为特定值，得到公式。

利用Beta函数的性质，得出公式。

由此，通过公式，我们得出满足微分方程的解。

进一步，观察解的特性，发现其满足另一个微分方程。

解决该微分方程，我们得到公式。

最后，公式和公式，通过微分方程的特性，实现了余元公式的证明。

对公式进一步解析，可以看出，其解法遵循了可分离变量微分方程的解决策略，即引入变量替换简化方程结构，最终通过积分得到解。