反正弦函数的求导
(arcsinx)'=1/√(1-x^2)
反余弦函数的求导
(arccosx)'=-1/√(1-x^2)
反正切函数的求导
(arctanx)'=1/(1+x^2)
反余切函数的求导
(arccotx)'=-1/(1+x^2)
为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2,将y作为反正弦函数的主值,记为y=arcsin x。
相应地。反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2 1、反正弦函数 正弦函数y=sin x在[-π/2,π/2]上的反函数,叫做反正弦函数。记作arcsinx,表示一个正弦值为x的角,该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。定义域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]。 2、反余弦函数 余弦函数y=cos x在[0,π]上的反函数,叫做反余弦函数。记作arccosx,表示一个余弦值为x的角,该角的范围在[0,π]区间内。定义域[-1,1] , 值域[0,π]。 3、反正切函数 正切函数y=tan x在(-π/2,π/2)上的反函数,叫做反正切函数。记作arctanx,表示一个正切值为x的角,该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。定义域R,值域(-π/2,π/2)。 5、反余切函数 余切函数y=cot x在(0,π)上的反函数,叫做反余切函数。记作arccotx,表示一个余切值为x的角,该角的范围在(0,π)区间内。定义域R,值域(0,π)。 6、反正割函数 正割函数y=sec x在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函数,叫做反正割函数。记作arcsecx,表示一个正割值为x的角,该角的范围在[0,π/2)U(π/2,π]区间内。 定义域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[0,π/2)U(π/2,π]。 7、反余割函数 余割函数y=csc x在[-π/2,0)U(0,π/2]上的反函数,叫做反余割函数。记作arccscx,表示一个余割值为x的角,该角的范围在[-π/2,0)U(0,π/2]区间内。定义域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[-π/2,0)U(0,π/2]。 反三角函数的公式 反三角函数的和差公式与对应的三角函数的和差公式没有关系: y=arcsin(x),定义域[-1,1],值域[-π/2,π/2]; y=arccos(x),定义域[-1,1],值域[0,π]; y=arctan(x),定义域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2); y=arccot(x),定义域(-∞,+∞),值域(0,π); sin(arcsinx)=x,定义域[-1,1],值域[-1,1]arcsin(-x)=-arcsinx; 证明方法如下:设arcsin(x)=y,则sin(y)=x,将这两个式子代入上式即可得。 其他几个用类似方法可得。 cos(arccosx)=x,arccos(-x)=π-arccosx。 tan(arctanx)=x,arctan(-x)=-arctanx。 反三角函数其他公式 cos(arcsinx)=√(1-x^2)。 arcsin(-x)=-arcsinx。 arccos(-x)=π-arccosx。 arctan(-x)=-arctanx。 arccot(-x)=π-arccotx。 arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx。 sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x。 当x∈[-π/2,π/2]有arcsin(sinx)=x。 x∈[0,π],arccos(cosx)=x。 x∈(-π/2,π/2),arctan(tanx)=x。 x∈(0,π),arccot(cotx)=x。 x>0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似。 若(arctanx+arctany)∈(-π/2,π/2),则arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy))。 三角函数的诱导公式(四公式) 公式一: sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα 。 公式二: sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα 。 公式三: sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα 。 公式四: sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα 。 反三角函数遵循的规则 为了保证函数与自变量之间的单值对应,确定的区间必须具有单调; 函数在这个区间较好是连续的(这里之所以说较好,是因为反正割和反余割函数是尖端的)﹔ 为了使研究方便,常要求所选择的区间包含0到T/2的角; 所确定的区间上的函数值域应与整函数的定义域相同。