继续昨天的引言，这篇亦是对平面解析几何的一个拓展，希望大家能有所收获。

今天我将站住在一个宏观角度，带大家领略调和点列在解析几何的应用之美。

先普及一些预备知识：

定义1：对于线段 [公式] 的内分点 [公式] 和外分点 [公式] 满足 [公式] ,则称点 [公式]、[公式] 调和分割线段 [公式] 或者 [公式] 是调和点列。

我们允许无穷远点的存在，即规定如果 [公式] 为无穷远点，则 [公式] ，也可以说，当 [公式] 平分线段 [公式] 时， [公式] 以及直线 [公式] 上的无穷远点四点成调和点列。

性质1.1：

对于 [公式] 的内分点 [公式] 和外分点 [公式] 满足 [公式] 调和分割线段 [公式] ， [公式] 是 [公式] 的中点，则有以下结论成立：

1、点 [公式] 调和分割线段 [公式]

2、 [公式]

3、 [公式]

4、 [公式]

性质1.2：

设 [公式] 依次在一直线上,直线 [公式] 外一点 [公式] ，给出四个命题，若下列命题中任意两个为真, 则可以推得另外两个:

1、 [公式] 成调和点列;

2、 [公式] 的内角平分线;

3、 [公式] ;

4、 [公式] 的外角平分线.

定义2：过直线 [公式] 外一点 [公式] 引出四条给定直线，直线 [公式] 与这四条直线相交，交点分别为 [公式] ，则[公式]为定值，称这个比例为交比。

性质2.1：设过O的线束 [公式] 分别交不过O的两条直线 [公式] 其中 [公式] ，等等.那么 [公式] 成调和点列的充要条件是 [公式] 成调和点列。

定义3：过平面内任意一点 [公式] （此时P在曲线内）作直线 [公式] 、 [公式] 与二次曲线交于 [公式] 、 [公式] 、 [公式]、 [公式] 四点。直线 [公式] 与 [公式] 交于点 [公式] ，直线 [公式] 与 [公式] 交于点 [公式] 。则直线 [公式] 为极点 [公式] 对该二次曲线的极线。

定义4：把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，叫做完全四边形。六个点可分成三对相对的顶点，它们的连线是三条对角线。

例1：2024 北京 理 19

例2：2024 北京 文 20

最后谈谈我的感谢，从上面的4个定义以及无数的性质，我稍稍总结一下：

1. 若在椭圆或题目中遇到[公式]，不妨考虑一下调和点列（这个题目九成就是用调和点列为背景出的题），我们设一个 [公式] ，利用定比分点和点差法便可得出一个很美的式子：[公式].

2. 发现题目里面直线很多（如上面的北京文科高考题），不妨考虑从完全四边形的角度去得到调和点列，进而使用其性质；

3. 发现题目里面出现圆锥曲线的切线交点或者某些弦的中点等问题，不妨利用极点极线来处理。

最后感谢大家有耐心看完这篇文章，如有问题欢迎留言或私信，本次入学需一个月才能回家，目前如有不能及时回复的消息，望大家见谅，多多包涵。