1、解：只有完全平方数的因数是奇数个。

则400以内的完全平方数有：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361和400共20个。这些数中，设每个数都是x（代表任意数）的平方，那么x的因数越多，x的平方的因数也越多。

当x=12时，x的因数有：1、2、3、4、6、12六个

当x=16时，x的因数有：1、2、4、8、16五个

当x=18时，x的因数有：1、2、3、6、9、18六个

当x=20时，x的因数有：1、2、4、5、10、20六个

那么，也就是说这些数中12²（144）、18²（324）、20²（400）的因数可能最多。

接下来分解质因数。

144=2^4×3²，因数有15个

324=2²×3^4，因数有15个

400=2^4×5²，因数有15个

2、解：设a+7=x²，a-7=y²。

利用平方差公式，可得：

（x+y）（x-y）=x²-y²

即（x+y）（x-y）=（a+7）-（a-7）=14

又因为（x+y）和（x-y）奇偶性相同。

所以它们必然是奇数或4的倍数

又14既不是奇数又不是4的倍数

所以不存在这样的数。

3、解：设这个数为x，设x-100是A的平方，x-81是B的平方

由平方差公式可得：

（B-A）（B+A）=（x-81）-（x-100）=19

因为19=1×19

所以B-A=1，B+A=19

即（下面是标准二元一次方程解法，若未学过可以用和差问题的解法来做）

A=B-1

代入，得

B+B-1=19

得2B=20

B=10。

A=9

即x=10²+81（或9²+100）=181.

没有写答，应该不影响吧？