概率分布是随机事件概率的数学描述工具，它通过样本空间和事件概率来刻画随机性。概率分布需满足三个基本公理。对于随机变量，连续型（如正态分布）和离散型（如泊松分布）有各自的概率密度函数（PDF）和累计分布函数（CDF）。下面我们列举一些常见的概率分布。

1. 贝塔分布

贝塔分布广泛用于描述随机比例，其定义域是[0,1]。形状参数为[公式]的贝塔分布，其PDF为[公式]，CDF为[公式]，均值为[公式]，方差为[公式]，偏度为[公式]，超值峰度为[公式]，矩生成函数为[公式]。

2. 狄利克雷分布

狄利克雷分布是多元贝塔分布的扩展，其定义域为[0,1]^n。[公式]阶狄利克雷分布的PDF为[公式]，其均值和方差为[公式]。

3. 伽马分布

伽马分布包含指数分布和卡方分布，形式为[公式]。其定义域为[0,∞]，均值和方差分别为[公式]和[公式]，偏度为[公式]，超值峰度为[公式]，特征函数为[公式]。

4. 逆伽马分布

逆伽马分布描述伽马分布变量的倒数，其PDF为[公式]，定义域为[0,∞]，均值和方差为[公式]和[公式]，矩生成函数不存在。

5. 威沙特分布与逆威沙特分布

威沙特分布和其逆分布分别对应正定矩阵的随机生成，威沙特分布的PDF为[公式]，均值和方差为[公式]和[公式]。逆威沙特分布的PDF为[公式]，均值为[公式]，方差为[公式]。

6. 广义极值分布

广义极值分布包括弗雷歇、耿贝尔和韦布尔分布，如位置参数为[公式]的PDF为[公式]，定义域为[0,∞]，具有相关特性。

7. 其他分布

帕累托分布描述财富分配，PDF为[公式]；广义帕累托分布（GPD）则用于描述尾部行为，GPD的PDF为[公式]。莱维分布是非负连续变量，PDF为[公式]，具有特殊性质。

这些分布各有其特点和应用领域，是概率论中不可或缺的部分。