本文详述了如何推导常用刚体的转动惯量，包括圆环、圆盘、球体、球壳、圆柱体等。

首先，以圆环为例，设其半径为R。利用线密度公式计算得转动惯量为I = (m * R^2) / 2。随后，对于具有不同线密度的圆环，同样可以应用上述公式进行计算。

对于薄圆盘，设其半径为R。应用面密度公式计算得到转动惯量为I = (m * R^2) / 2。这种计算方法适用于具有不同面密度的薄圆盘。

接着，考虑圆筒和圆柱。假设圆筒的半径为R，高度为H。根据密度公式计算得知转动惯量为I = (m * H * R^2) / 2。细棒的转动惯量推导，则需要考虑其长度L和线密度μ。当转轴位于L/2时，转动惯量为I = (μ * L^2) / 12。

对于球体和球壳，设其半径为R。应用密度公式计算得球体的转动惯量为I = (2 * m * R^2) / 5。球壳的转动惯量计算更为复杂，首先需要应用面密度公式计算得到转动惯量为I = (m * R^2) / 2。随后，考虑球壳的面密度均匀分布，利用闭合曲面积分的原理进一步计算得到最终结果。

本文旨在提供一种系统的方法来推导各种刚体的转动惯量。在实际应用中，具体问题可能需要结合不同的物理条件和几何形状进行调整和计算。通过本篇文章，希望读者能掌握基本的推导方法，以便在需要时能够快速准确地计算出所需的转动惯量。