复数，这一独特的数学概念，最初由意大利数学家卡当在16世纪引入，它被定义为一个包含两个实数成分的有序对(a, b)，通常表示为z = a + bi。这里的a和b是实数，而i则是被称为虚数单位的基本元素。经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉和高斯等多位数学家的深入研究和拓展，复数逐渐被数学界广泛理解和接受。

复数的运算规则简单明了，遵循特定法则。加法运算定义为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。减法则是：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。乘法法则规定为：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (bc+ad)i。至于除法，其规则是：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd) / (c²+d²)] + [(bc-ad) / (c²+d²)]i。特别要注意的是，i的平方等于-1，即i的平方根可以表示为±i。

复数在数学中的应用广泛，尤其是在解决涉及旋转、波动和其他复杂数学问题时，它们提供了强大的工具。理解复数及其运算，对于深入学习数学和科学领域至关重要。