向量外积的运算以代数形式表达为：|e(i) e(j) e(k)|a×b=| x(a) y(a) z(a) || x(b) y(b) z(b) |，这个公式源于行列式的概念。尽管几何证明过程可能复杂，但主要通过作图来验证。有兴趣深入理解的读者可以参考相关文献中的详细步骤。现在，我们将转向代数方法。首先，外积的反对称性是基本性质，即a×b= -b×a，这是外积定义的直接结果。其次，内积（点积）的分配律也很关键，即a·(b+c) = a·b+a·c 和 (a+b)·c = a·c+b·c，这可以通过内积定义a·b=|a|·|b|·cos的性质以及投影方法来证明。再者，混合积的性质表明，(a×b)·c表示向量a、b和c的混合积，其绝对值等于以a、b和c为邻边的平行六面体的体积，正负取决于它们的定向（右手定则或左手定则）。由此推导出a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b)，这使得我们能够定义混合积为(a,b,c)。