已知一个直角三角形AOB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4.将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D.
(1)如图1,若折叠后使点B与点O重合,则点D的坐标为(1,2);
(2)如图2,若折叠后使点B与点A重合,求点C的坐标;
(3)如图3,若折叠后点B落在边OA上的点为B′,设OB′=x,OC=y,试写出y关于x的函数解析式.考点:一次函数综合题.分析:(1)由CD为△OAB的中位线,可求D点坐标;
(2)设OC=m,由折叠的性质可知,△ACD≌△BCD,则BC=AC=4-m,OA=2,在Rt△AOC中,利用勾股定理求m的值;
(3)由折叠的性质可知,△B′CD≌△BCD,依题意设OB′=x,OC=y,则B′C=BC=OB-OC=4-y,在Rt△B′OC中,由勾股定理,建立y与 x之间的函数关系式.解答:解:(1)由折叠的性质 可知,BC=OC,CD⊥OB,
则CD为△OAB的中位线,所以D(1,2),
故答案为:(1,2);
(2)如图2,折叠后点B与点A重合,则△ACD≌△BCD,
设C点坐标为(0,m)(m>0),则BC=OB-OC=4-m,于是AC=BC=4-m,
在Rt△AOC中,由勾股定理,得AC2=OC2+OA2,即(4-m)2=m2+22,
解得m=32,所以C(0,32);
(3)如图3,折叠后点BB落在边OA上的点为B′,则△B′CD≌△BCD,
依题意设OB′=x,OC=y,则B′C=BC=OB-OC=4-y,
在Rt△B′OC中,由勾股定理,得B′C2=OC2+OB′2,即(4-y)2=y2+x2,即y=-18x2+2,
由点B′在边OA上,有0≤x≤2,
所以,函数解析式为y=-18x2+2(0≤x≤2).点评:本题考查了一次函数的综合运用.关键是由折叠的性质得出全等三角形,在直角三角形中,利用勾股定理建立等式,解方程或得出函数关系式.