在同一个圆中，对应同一段弧的角相等，即角C=角D，所以c/sinC=c/sinD，ABD为直角三角形，sinD=c/2R，所以c/sinC=c/sinD=2R，同理可证a/sinA=b/sinB=2R。

由正弦定理（只限于前三项）得

ab/sino=r/sin∠bao

又∵sino=sin(2c)=2sinccosc（二倍角公式）

sin∠bao=cosc（诱导公式）

∴ab/(2sinccosc)=r/cosc（代入）

若cosc≠0，

则ab/(2sinc)=r

ab/sinc=2r

若cosc=0，则c=π/2

总之，无论cosc是否为0，均有ab/sinc=2r

最终得到完整的正弦定理：a/sina=b/sinb=c/sinc=2r（r为外接圆半径）

定理意义：

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。

在解三角形中，有以下的应用领域：

已知三角形的两角与一边，解三角形。

已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。

运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系。